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图形学基础：3D 向量

· 图形学 图形学线性代数向量

3D 向量的定义、基本运算、点积、叉积

这是我「图形学基础」系列的第一篇。这个系列整理自我复习和学习计算机图形学时积累的笔记——一方面方便自己日后回看，另一方面也希望能在你入门时帮上一点忙。

3D 向量是计算机图形学里最基础的数学对象：位置、方向、法线、速度、颜色 (RGB)，底层全是它。 本篇聚焦向量本身：是什么、怎么算，以及图形学中出镜率最高的两种乘法——点积与叉积。

目录

一、定义

1.1 数学定义

一个三维向量，就是按固定顺序排列的三个实数：

v⃗=(vx, vy, vz),vx,vy,vz∈R\vec{v} = (v_x,\ v_y,\ v_z),\quad v_x,v_y,v_z \in \mathbb{R}

顺序很重要：(1,2,3)(1, 2, 3) 和 (3,2,1)(3, 2, 1) 是两个完全不同的向量。这三个数也叫向量的分量（component），下标 x/y/zx/y/z 对应三个坐标轴。图形学里通常采用右手坐标系（+x+x 向右、+y+y 向上、+z+z 朝屏幕外；不同引擎约定可能不同，本文统一按右手系讨论）。

1.2 几何意义：方向 + 大小

去掉具体的数字，向量在几何上就是一支「箭头」：

向量 = 方向 + 大小（长度）

  • 方向：箭头从尾指向头的朝向；
  • 大小（模长）：箭头有多长。

一个很容易被忽略的关键性质：向量与起点无关。把一支箭头在空间里随便平移，它还是原来那个向量——因为它描述的是「位移」而不是「位置」。这也是为什么后面讲「两点相减得向量」时，结果可以画在任何地方。

1.3 向量 vs 点的区别

向量和点在数学上都写成 (x,y,z)(x,y,z)，但语义完全不同，工程上必须分清：

点 (Point)向量 (Vector)
语义空间中的位置方向 + 长度（位移）
平移改变?是（平移后位置变了）否（平移后仍是同一向量）
合法运算点 + 向量 = 新点；点 − 点 = 向量向量 ± 向量 = 向量
典型用途顶点坐标、相机位置、光源位置方向、法线、速度、颜色(rgb)

口诀：「两点相减得向量，点加向量得新点。」 到讲齐次坐标与矩阵变换的篇章，我们会给点写成 (x,y,z,1)(x,y,z,1)、向量写成 (x,y,z,0)(x,y,z,0)，用第 4 个分量从数学上把二者彻底区分开。

1.4 代码表示：Vec3f / Vec3d

一个典型的向量类用模板结构体 Vec3<T> 实现，并提供两个常用别名：

struct Vec3 {
    float x, y, z;
};

using Vec3f = Vec3<float>;
using Vec3d = Vec3<double>;

int main() {
    using namespace gm;

    // 类型别名：Vec3f = Vec3<float>，Vec3d = Vec3<double>
    Vec3f a(1.0f, 2.0f, 3.0f);   // 三元构造 (x, y, z)
    Vec3f b;                      // 默认构造，零向量 (0,0,0)

    // 成员访问
    std::cout << a.x << " " << a.y << " " << a.z << "\n";

    // 数组式访问（便于循环）：operator[]
    for (int i = 0; i < 3; ++i) {
        std::cout << a[i] << " "; // 等价于 a.x / a.y / a.z
    }

    // 流输出：operator<<，打印成 "(1, 2, 3)"
    std::cout << a << "\n";
}

要点：

  • 成员直存三个分量 x / y / z，另有 Vec3f（float）/ Vec3d（double）两个常用别名；
  • 构造：默认零向量、Vec3(x,y,z)；
  • operator[](int) 数组式访问；
  • operator<< 流打印。

二、基本运算

2.1 加法 / 减法

两个向量逐分量相加 / 相减：

a⃗±b⃗=(ax±bx, ay±by, az±bz)\vec{a} \pm \vec{b} = (a_x \pm b_x,\ a_y \pm b_y,\ a_z \pm b_z)

几何意义（三角形法则 / 平行四边形法则）：

  • 加法：先沿 a⃗\vec{a} 走，再沿 b⃗\vec{b} 走，从起点指向终点的箭头就是 a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}（所以加法满足交换律：先走哪段都一样）；
  • 减法：a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b} 是从 b⃗\vec{b} 的终点指向 a⃗\vec{a} 的终点的箭头——注意方向，减出来的向量指向「被减数」那一侧。
gm::Vec3f a(1, 2, 3), b(4, 5, 6);
gm::Vec3f sum  = a + b;   // (5, 7, 9)
gm::Vec3f diff = a - b;   // (-3, -3, -3)
gm::Vec3f neg  = -a;      // (-1, -2, -3) 取负（反向）
a += b;                   // 复合赋值 (5, 7, 9)

由两点求方向：若 P0、P1 是两个位置点，则从 P0 指向 P1 的方向就是 P1 - P0（终点减起点）。这是图形学里最常用的操作之一，比如「从相机指向物体的视线方向」就是这么算的。

2.2 标量乘 / 标量除

向量与标量逐分量相乘 / 相除：

ka⃗=(kax, kay, kaz)k\vec{a} = (k a_x,\ k a_y,\ k a_z)

几何意义：对向量做缩放——方向不变，长度变为原来的 ∣k∣|k| 倍。k>0k>0 同向放大缩小，k<0k<0 反向，k=0k=0 得到零向量。

gm::Vec3f a(1, 2, 3);
gm::Vec3f d1 = a * 2.0f;   // (2, 4, 6)   向量 * 标量
gm::Vec3f d2 = 2.0f * a;   // (2, 4, 6)   标量 * 向量（左乘，满足交换律）
gm::Vec3f d3 = a / 2.0f;   // (0.5, 1, 1.5)
a *= 2.0f;                 // 复合赋值

实现上很简单：成员 operator* / operator/，外加一个自由函数 operator*(T s, const Vec3<T>& v) 支持标量左乘。

2.3 模长（长度）

模长（ℓ2\ell_2 范数）就是各分量平方和再开方——本质是勾股定理在三维的推广：

∥v⃗∥=vx2+vy2+vz2\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} 
gm::Vec3f v(3, 4, 0);
float len = v.length();          // 5    sqrt(9+16+0) = 5
float len2 = v.lengthSquared();  // 25   长度的平方，免开方
bool  zero = v.isZero();         // false 是否近似零向量

性能提示：sqrt 相对较慢。如果只是要比较长度（比如「距离是否小于某个阈值」），直接比较平方值就够了，把开方省下来：

// 判断两点 P1, P2 距离是否 < r，用平方避免开方
float r2 = r * r;
bool near = (P1 - P2).lengthSquared() < r2;   // ✅ 推荐
// bool near = (P1 - P2).length() < r;        // ❌ 多一次开方

典型实现提供三个接口：lengthSquared()、length()、isZero(eps)。

2.4 归一化（单位化）

单位向量是长度为 1 的向量。把任意非零向量除以自己的模长，就得到同方向的单位向量：

v^=v⃗∥v⃗∥\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}

几何意义：把「大小」信息剥掉，只留「纯方向」。图形学中绝大多数方向（法线、光线方向、视线方向、反射方向）都约定用单位向量表示——这样点积就能直接给出 cos⁡θ\cos\theta，公式最简洁（见 3.3 节）。

gm::Vec3f v(3, 4, 0);
gm::Vec3f n = v.normalized();   // (0.6, 0.8, 0)，长度 = 1
// 零向量没有方向，无法归一化：normalized() 对零向量返回零向量（避免除零）
gm::Vec3f z;
gm::Vec3f zn = z.normalized();  // (0,0,0)

normalized() 的典型实现：先取 length()，若长度接近 0 则返回零向量（防止除以 0）。

三、点积 (Dot Product)

点积（又称内积 / scalar product）是图形学里出场率最高的运算，结果是标量。记号 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} 或 ⟨a⃗,b⃗⟩\langle \vec{a},\vec{b}\rangle。

3.1 代数定义

逐分量相乘再求和：

a⃗⋅b⃗=axbx+ayby+azbz\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z 
gm::Vec3f a(1, 2, 3), b(4, 5, 6);
float d = gm::dot(a, b);   // 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32

3.2 几何定义

a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥ ∥b⃗∥cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b} = \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta

其中 θ∈[0,π]\theta \in [0,\pi] 是 a⃗\vec{a}、b⃗\vec{b} 的夹角。

为什么代数定义和几何定义是等价的？ 推导要点： 设 e^x,e^y,e^z\hat{e}_x,\hat{e}_y,\hat{e}_z 是标准正交基，则 a⃗=∑aie^i\vec{a}=\sum a_i\hat{e}_i，b⃗=∑bie^i\vec{b}=\sum b_i\hat{e}_i。由内积的双线性与正交基的 e^i⋅e^j=δij\hat{e}_i\cdot\hat{e}_j=\delta_{ij}，得：

a⃗⋅b⃗=∑i∑jaibj(e^i⋅e^j)=∑iaibi\vec{a}\cdot\vec{b} = \sum_i\sum_j a_i b_j (\hat{e}_i\cdot\hat{e}_j) = \sum_i a_i b_i

再令 c⃗=a⃗−b⃗\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}，由 c⃗⋅c⃗=∥c⃗∥2\vec{c}\cdot\vec{c}=\|\vec{c}\|^2 展开可解出 a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta（本质是余弦定理）。两种定义由此打通。

3.3 几何意义：夹角、投影、判向

由几何定义可以推出三条核心性质，图形学里到处都在用：

① 夹角（求 cos⁡θ\cos\theta）

cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∥a⃗∥ ∥b⃗∥\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}

当 a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b} 都是单位向量时，cos⁡θ=a⃗⋅b⃗\cos\theta = \vec{a}\cdot\vec{b}，一个点积直接就是夹角余弦——这就是「方向一律用单位向量」约定的回报。

② 投影长度

a⃗\vec{a} 在单位向量 b^\hat{b} 方向上的投影长度（标量）：

proj_len=a⃗⋅b^\text{proj\_len} = \vec{a}\cdot\hat{b}

若 b⃗\vec{b} 非单位，则投影长度 =a⃗⋅b⃗∥b⃗∥= \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{b}\|}。

③ 正负判断方向关系（重点）

点积值夹角 θ\theta关系图形学应用
>0> 0θ<90°\theta < 90°同向 / 大致同侧表面朝向光源 / 视点，可见
=0= 0θ=90°\theta = 90°垂直（正交）法线 ⊥ 切线；a⃗⋅b⃗=0  ⟺  a⃗⊥b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \iff \vec{a}\perp\vec{b}
<0< 0θ>90°\theta > 90°反向 / 大致异侧背对光源 / 视点，背面

背面剔除、光照强度、可见性判断，底层其实是同一件事：看一个点积的正负号。

3.4 派生 API：angleBetween / projectOnto / reflect

在 dot 基础上通常还会封装三个常用函数：

(1) gm::angleBetween(a, b) —— 两向量夹角（弧度，[0,π][0,\pi]）

θ=arccos⁡ ⁣(clamp ⁣(a⃗⋅b⃗∥a⃗∥ ∥b⃗∥, −1, 1))\theta = \arccos\!\left(\mathrm{clamp}\!\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|},\,-1,\,1\right)\right) 
using namespace gm;
float rad = angleBetween(Vec3f(1,0,0), Vec3f(1,1,0));   // ≈ 0.7854 弧度
float deg = rad * 180.0f / 3.14159265f;                  // ≈ 45°

实现细节：先用点积除以模长积求 cos⁡θ\cos\theta，再 clamp 到 [−1,1][-1,1]——浮点误差可能让本应是 1 的值变成 1.0000001，直接喂给 acos 会得到 NaN，最后才 std::acos。

(2) gm::projectOnto(a, b) —— a⃗\vec{a} 在 b⃗\vec{b} 方向上的投影向量（含方向）

投影长度乘上 b⃗\vec{b} 的单位方向，就是投影向量：

projb⃗a⃗=(a⃗⋅b⃗b⃗⋅b⃗)b⃗\mathrm{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\right)\vec{b}

（分母 b⃗⋅b⃗=∥b⃗∥2\vec{b}\cdot\vec{b}=\|\vec{b}\|^2，这样写避免了显式开方。）

using namespace gm;
// 把 (1,1,0) 投影到 x 轴方向 (1,0,0) 上
Vec3f p = projectOnto(Vec3f(1,1,0), Vec3f(1,0,0));  // (1,0,0)

(3) gm::reflect(v, n) —— 镜面反射向量

入射方向 v⃗\vec{v} 撞上单位法线 n^\hat{n} 后弹开的方向（经典公式）：

r⃗=v⃗−2(v⃗⋅n^) n^\vec{r} = \vec{v} - 2(\vec{v}\cdot\hat{n})\,\hat{n}

推导思路：把 v⃗\vec{v} 分解成「平行于法线的分量」v⃗∥=(v⃗⋅n^)n^\vec{v}_\parallel=(\vec{v}\cdot\hat{n})\hat{n} 和「垂直分量」v⃗⊥\vec{v}_\perp。反射时垂直分量原样保留，平行分量反向：r⃗=v⃗⊥−v⃗∥=v⃗−2v⃗∥\vec{r}=\vec{v}_\perp-\vec{v}_\parallel=\vec{v}-2\vec{v}_\parallel。就像乒乓球撞桌面：水平速度不变，垂直速度反向。

using namespace gm;
// 方向 (1,-1,0) 撞水平地面（法线 (0,1,0)），应反射成 (1,1,0)
Vec3f r = reflect(Vec3f(1,-1,0), Vec3f(0,1,0));  // (1,1,0)

3.5 应用：光照 Lambert、背面剔除、投影

① 光照 —— Lambert 漫反射

漫反射强度与「法线 × 光线方向」的点积成正比（max 用来防止「负光」）：

I=Imax⁡⋅max⁡(0, n^⋅L^)I = I_{\max}\cdot\max(0,\ \hat{n}\cdot\hat{L})

其中 n^\hat{n} 是表面单位法线，L^\hat{L} 是从表面指向光源的单位方向。直觉很好理解：光正对着表面打过来（n^⋅L^=1\hat{n}\cdot\hat{L}=1）最亮；越斜越暗；光从背面打来（n^⋅L^<0\hat{n}\cdot\hat{L}<0）强度截断为 0。

// n: 表面法线（单位）, L: 指向光源（单位）, baseColor: 漫反射颜色
float diff = std::max(0.0f, gm::dot(n, L));
gm::Vec3f color = baseColor * lightColor * diff;

② 背面剔除 (Back-face Culling)

一个三角面要么朝向相机，要么背对相机；背对的那面永远看不见，直接不画。设视方向 v⃗\vec{v}（从三角形指向相机），面法线 n^\hat{n}：

  • n^⋅v⃗>0\hat{n}\cdot\vec{v} > 0 → 正面朝相机，渲染；
  • n^⋅v⃗<0\hat{n}\cdot\vec{v} < 0 → 背面，剔除（不画）。
if (gm::dot(normal, viewDir) < 0.0f) {
    // 背面，剔除
    return;
}

③ 投影 / 分量分解

把一个向量分解到任意方向：比如把速度投影到斜面方向求「下滑分量」；或求点到直线的距离（用 v⃗−proj\vec{v}-\mathrm{proj} 得到垂直分量）。projectOnto 直接给出投影向量。

四、叉积 (Cross Product)

叉积（又称外积 / vector product）只对三维向量有定义，结果是向量，方向同时垂直于两个输入向量。记号 a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}。

4.1 定义

a⃗×b⃗=∣i^j^k^axayazbxbybz∣=(aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y,\quad a_z b_x - a_x b_z,\quad a_x b_y - a_y b_x) 
gm::Vec3f c = gm::cross(gm::Vec3f(1,0,0),   // x 轴
                         gm::Vec3f(0,1,0));  // y 轴
// c == (0,0,1)  →  x × y = z（右手系）

重要性质：叉积不满足交换律，满足反交换律——交换顺序结果反向：

a⃗×b⃗=−(b⃗×a⃗)\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})

因此 a⃗×a⃗=0⃗\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}（任何向量与自身叉积为零向量）。

4.2 右手定则

叉积结果朝哪边？右手定则给出答案（按右手坐标系讨论）：

  1. 伸出右手，四指从 a⃗\vec{a} 的方向以不超过 180° 的角度弯向 b⃗\vec{b} 的方向；
  2. 大拇指所指的方向，就是 a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} 的方向。

记忆口诀（标准基的循环）：

i^×j^=k^,j^×k^=i^,k^×i^=j^\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k},\quad \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i},\quad \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}

反过来 j^×i^=−k^\hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}。这也是判断「左 / 右手系」的试金石：若 x^×y^=+z^\hat{x}\times\hat{y}=+\hat{z} 则是右手系。

4.3 模长 = 平行四边形面积

由几何定义 a⃗×b⃗=∥a⃗∥∥b⃗∥sin⁡θ n^\vec{a}\times\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\,\hat{n} 可得模长：

∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥ ∥b⃗∥sin⁡θ\|\vec{a}\times\vec{b}\| = \|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin\theta

这恰好等于以 a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b} 为邻边的平行四边形面积：底为 ∥a⃗∥\|\vec{a}\|，高为 ∥b⃗∥sin⁡θ\|\vec{b}\|\sin\theta（斜边在垂直方向上的投影）。

using namespace gm;
// 邻边长 2 和 3 的矩形，面积 = 6
float area = cross(Vec3f(2,0,0), Vec3f(0,3,0)).length();  // 6

两个实用推论：

  • 三角形面积（以 a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b} 为两边）=12∥a⃗×b⃗∥= \dfrac{1}{2}\|\vec{a}\times\vec{b}\|（三角形是平行四边形的一半）；
  • a⃗∥b⃗  ⟺  a⃗×b⃗=0⃗\vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}（共线判定，sin⁡θ=0\sin\theta=0）。

4.4 几何意义：法向量、面积、左右手系判定

性质说明应用
方向结果垂直于 a⃗\vec{a} 和 b⃗\vec{b} 所在平面，由右手定则定向求平面 / 三角形的法线
模长=∥a⃗∥∥b⃗∥sin⁡θ=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta，平行四边形面积求面积、判定共线
判左右（2D）在 xyxy 平面，a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b} 的 zz 分量正负表示 b⃗\vec{b} 在 a⃗\vec{a} 的左 / 右侧点在多边形内外、凸包

左右判定（2D 推广）：令 a⃗,b⃗\vec{a},\vec{b} 的 z=0z=0，则 a⃗×b⃗=(0,0, axby−aybx)\vec{a}\times\vec{b}=(0,0,\,a_x b_y-a_y b_x)，只剩 zz 分量有信息：

  • zz 分量 >0>0 → b⃗\vec{b} 在 a⃗\vec{a} 的左侧（从 a⃗\vec{a} 逆时针转到 b⃗\vec{b}）；
  • zz 分量 <0<0 → b⃗\vec{b} 在 a⃗\vec{a} 的右侧（顺时针）；
  • zz 分量 =0=0 → 共线。

4.5 应用：求平面法线、三角形面积、点在三角形内外判定

① 求平面 / 三角形法线

给定三角形三顶点 V0,V1,V2V_0,V_1,V_2，任取两条边向量做叉积，就得到垂直于三角形所在平面的法线，再归一化：

n^=normalize((V1−V0)×(V2−V0))\hat{n} = \mathrm{normalize}\big((V_1-V_0)\times(V_2-V_0)\big) 
using namespace gm;
Vec3f v0(0,0,0), v1(1,0,0), v2(0,1,0);
Vec3f edge1 = v1 - v0;            // (1,0,0)
Vec3f edge2 = v2 - v0;            // (0,1,0)
Vec3f normal = cross(edge1, edge2).normalized();  // (0,0,1)

注意：法线朝向由顶点绕序（V0→V1→V2V_0\to V_1\to V_2）与叉积顺序共同决定，绕序一反法线就反向。图形学里「正 / 反面」「逆时针 / 顺时针」的约定正来源于此。

② 三角形面积

S△=12 ∥(V1−V0)×(V2−V0)∥S_{\triangle} = \tfrac{1}{2}\,\big\|(V_1-V_0)\times(V_2-V_0)\big\| 
float S = 0.5f * cross(v1 - v0, v2 - v0).length();

③ 点在三角形内外判定（叉乘同号法）

设点 PP 与三角形 V0V1V2V_0V_1V_2 共面。让 PP 分别与三条边做叉积：

c0=(V1−V0)×(P−V0), c1=(V2−V1)×(P−V1), c2=(V0−V2)×(P−V2)c_0=(V_1-V_0)\times(P-V_0),\ c_1=(V_2-V_1)\times(P-V_1),\ c_2=(V_0-V_2)\times(P-V_2)

直觉：PP 在三角形内 ⟺ 它在三条边的同一侧：

  • c0,c1,c2c_0,c_1,c_2 与三角形法线 n^\hat{n} 的点积同号（全正或全负）→ 点在三角形内；
  • 出现异号 → 点在三角形外；
  • 出现 0 → 点恰好落在边上。

「点在三角形内还是外」是光栅化与射线求交中的经典问题，本节的同号法与后续篇章的重心坐标法是两种主流解法，这里先作为点积与叉积的综合应用埋个伏笔。

五、面试速记

核心公式速查

运算公式结果类型几何意义
模长∥v⃗∥=vx2+vy2+vz2\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}标量长度
归一化v^=v⃗/∥v⃗∥\hat{v}=\vec{v}/\|\vec{v}\|向量纯方向（长度 1）
点积a⃗⋅b⃗=∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta标量夹角 / 投影 / 判同向反向
叉积∥a⃗×b⃗∥=∥a⃗∥∥b⃗∥sin⁡θ\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta向量法线 / 面积 / 判左右

点积 vs 叉积（必背对比）

点积 (Dot)叉积 (Cross)
结果标量向量
公式axbx+ayby+azbza_xb_x+a_yb_y+a_zb_z行列式展开
几何∥a⃗∥∥b⃗∥cos⁡θ\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta∥a⃗∥∥b⃗∥sin⁡θ n^\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\,\hat{n}
交换律满足 a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}反交换 a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}
平行a⃗⋅b⃗=±∥a⃗∥∥b⃗∥\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|=0⃗=\vec{0}
垂直=0=0∥⋅∥=∥a⃗∥∥b⃗∥\|\cdot\|=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|（最大）
用途夹角、投影、光照、背面剔除法线、面积、左右 / 内外判定

必记口诀

  • 向量 = 方向 + 大小，平移不变；点 = 位置，平移会变。两点相减得向量。
  • 方向一律用单位向量 → 点积直接 = cos⁡θ\cos\theta，公式最简。
  • 比较长度用平方：lengthSquared() 省开方。
  • 点积看正负：>0>0 同向、=0=0 垂直、<0<0 反向 → 一切可见性 / 光照的判据。
  • 叉积得法线：右手定则定方向，模长 = 平行四边形面积，三角形面积再 ×0.5。
  • 反射公式 r⃗=v⃗−2(v⃗⋅n^)n^\vec{r}=\vec{v}-2(\vec{v}\cdot\hat{n})\hat{n}；投影向量 =a⃗⋅b⃗b⃗⋅b⃗b⃗=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\vec{b}。

本文 API 速查（命名空间 gm）

API作用
Vec3f / Vec3dfloat / double 三维向量类型别名
a + b, a - b, -a, a * s, s * a, a / s加减 / 取负 / 标量乘除
a.length(), a.lengthSquared()模长 / 模长平方（免开方）
a.normalized()归一化（零向量返回零向量）
a.isZero()是否近似零向量
gm::dot(a, b)点积
gm::cross(a, b)叉积
gm::angleBetween(a, b)夹角（弧度，[0,π][0,\pi]）
gm::projectOnto(a, b)a⃗\vec{a} 在 b⃗\vec{b} 上的投影向量
gm::reflect(v, n)反射向量（n⃗\vec{n} 须为单位向量）

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